Xét (O) có

\(\widehat{MBD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BM và dây cung BD

\(\widehat{BAD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

Do đó: \(\widehat{MBD}=\widehat{BAD}\)

Xét ΔMBD và ΔMAB có

\(\widehat{MBD}=\widehat{MAB}\)

\(\widehat{BMD}\) chung

Do đó: ΔMBD đồng dạng với ΔMAB

=>\(\dfrac{MB}{MA}=\dfrac{MD}{MB}\)

=>\(MB^2=MA\cdot MD\left(1\right)\)

Xét (O) có

MB,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(2)

ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(3)

từ (2),(3) suy ra MO là đường trung trực của BC

=>MO\(\perp\)BC tại H

Xét ΔMBO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MB^2\left(4\right)\)

Từ (1),(4) suy ra \(MH\cdot MO=MD\cdot MA\)

vì AM là tiếp tuyến của ( O) => OA⊥AM =>ΔOAM vuông ở A   

=> điểm A thuộc đường tròn đường kính OM

vì BM là tiếp tuyến của (O) => OB⊥BM =>ΔOBM vuông ở B

=> điểm B thuộc đường tròn đường kính OM 

Vì OH⊥MI=>ΔOHM vuông tại H

=> điểm H thuộc đường tròn đường kính OM

=> 4 điểm O,A,M,B,H cùng thuộc đường tròn đường kính OM

a) Xét tứ giác MAOB có

\(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OBM}\) là hai góc đối

\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét (O) có 

\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AC}\)

\(\widehat{CAM}\) là góc tạo bởi dây cung CA và tiếp tuyến AM

Do đó: \(\widehat{ADC}=\widehat{CAM}\)(Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

hay \(\widehat{MDA}=\widehat{MAC}\)

Xét ΔMDA và ΔMAC có 

\(\widehat{MDA}=\widehat{MAC}\)(cmt)

\(\widehat{AMD}\) là góc chung

Do đó: ΔMDA∼ΔMAC(g-g)

⇔\(\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{MA}{MC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇔\(MA^2=MC\cdot MD\)(đpcm)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền OM, ta được:

\(MA^2=MH\cdot MO\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MH\cdot MO=MC\cdot MD\)(đpcm)

c) để chứng minh EC là tiếp tuyến:

chứng minh tứ giác OECH nội tiếp thì ta sẽ có góc OHE=OCE=90o(đpcm)

=> cần chứng minh tứ giác OECH nội tiếp:

ta có: DOC=DHC (ccc CD)

xét MHC=MDO (tam giác MCH~MOD)= OCD (vì DO=OC)=OHD (cùng chắn OD) => HA là phân giác CHD

DOC=DHC => 1/2 DOC= 1/2 DHC =COE=CHE

mà COE với CHE cùng chắn cung CE trong tứ giác OHCE nên tứ giác đấy nội tiếp => xong :))))

a: góc OHK+góc OBK=180 độ

=>OHKB nội tiếp

b: góc AHK=góc AOK

góc BHK=góc BOK

mà góc AOK=góc BOK

nên góc AHK=góc BHK

=>HK là phân giác của góc AHB

a) Tứ giác MAOB có: \(\widehat{OAM}=90^0\left(0A\perp AM\right);\widehat{OBM}=90^0\left(CB\perp BM\right)\)

=> \(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^O\)

=> AOBM nội tiếp (tổng 2 góc đối = 180)

Vì I là tâm=> I là trung điểm OM

b) Tính \(MA^2=3R^2\Rightarrow MC.MD=3R^2\)

c) CM: OM là trung trực AB

=> FA=FB

=> tam giác FAB cân tại F

Gọi H là giao điểm AB và OM

Ta có: OA=OB=AI=R => tam giác OAI đều

=> OAI =60^O=> FAB=60^o (cùng phụ AFI)

Vậy tam giác AFB đều

d) Kẻ EK vuông góc với FB tại K. Ta có:

\(S_{B\text{EF}}=\frac{1}{2}.FB.EK\)

Mà \(EK\le BE\)( TAM giác BEK vuông tại K)

Lại có: \(BE\le OA\)(LIÊN hệ đường kính và dây cung)

=> \(S_{B\text{EF}}\le\frac{1}{2}.R\sqrt{3}.2R=R^2\sqrt{3}\)

GTLN của \(S_{B\text{EF}}=R^2\sqrt{3}\). kHI ĐÓ BE là đường kính (I)

Kẻ đường kính BG của (I). Vì B và (I) cố định nên BG cố
 định . Khi đó vị trí cắt tuyến MCD để \(S_{B\text{EF}}\)đạt GTLN là C là giao điểm của FG với đường tron (O)

MC*MD=MH*MO

=>ΔMHC đồng dạng với ΔMDO

=>OHCD nội tiếp

=>góc OHD=góc OCD

=>góc OHD=góc MHC

GỌi K là giao của AB  và CD

=>90 độ-góc OHD=90 độ-góc MHC

=>góc DHK=góc KHC

=>HK là phân giác của góc PHC

Vì NM vuông góc HK

nên HM là phân giác góc ngoài của góc PHC

=>MC/MD=HC/HD; CK/DK=HC/HD

=>MC/MD=CK/DK

CP//AD

=>CP/AD=MC/MD

CQ//AD

=>CQ/AD=CK/DK

=>CP/AD=CQ/AD

=>CP=CQ

=>ĐPCM